در این قسمت ، چارلی از ابعاد فراکتال برای تشخیص کمیک های جعلی استفاده می کند. او استدلال می کند که جعل ها برای ترسیم بیشتر طول می کشد و باعث می شود جوهر به گونه ای از بین برود که "چروک بودن" را افزایش دهد ، که می تواند با بعد فراکتال اندازه گیری شود. بنابراین ، چقدر مناسب است که این نمایش از مسافران مشهور در ابعاد زمان (کریستوفر لوید ، بازگشت به آینده) و فضا (ویل ویتون ، Star Trek.) بیایید نگاهی دقیق تر به بعد فراکتال بیندازیم. روش های بسیاری برای ارتباط با شماره ای به نام ابعاد به یک شیء فراکتال وجود دارد. در اینجا بیایید روی بعد هاوسدورف تمرکز کنیم. ایده اصلی تعمیم طول 1 بعدی ، منطقه 2 بعدی و حجم 3 بعدی به ابعاد D است ، جایی که D نیازی به یک عدد صحیح نیست! اول ، ما باید برخی از خواص این اندازه گیری Husdorff D بعدی را تعیین کنیم.
فلیکس هاوسدورف (1942-1968) ، ریاضیدانی که این اندازه از ابعاد را ارائه داد ، به پیشگام در زمینه ریاضی توپولوژی ، که هندسه را تعمیم می دهد ، کمک کرد. در یک شکل هندسی می توانیم در مورد فاصله بین دو نقطه صحبت کنیم. هاوسدورف طبقه ای از فضاها را توصیف کرد که در آن فاصله با یک مفهوم عصبی تر از نزدیکی جایگزین می شود ، که توسط "محلات" نقاط موجود در فضا داده می شود. Axiom Hausdorff ، که نقاط متمایز دارای محله هایی هستند که با هم همپوشانی ندارند ، شبیه به وضعیت هندسه است که نقاط مجزا از فاصله مثبت (nonzero) از یکدیگر برخوردار هستند ، اما وضعیتی دقیق تر است. تعریف مدرن اجازه می دهد تا فضاهای توپولوژیکی که حتی این شرایط نیازی به نگه داشتن آن ندارد.
چگونه Goldilocks ابعاد را اندازه گیری می کند
(1) خاصیت اصلی طول ، منطقه و حجم این است که افزودنی است. اگر یک شکل را به قطعات جداگانه (معقول) تقسیم کنیم ، طول ، منطقه یا حجم کل شکل برابر با نتیجه اضافه کردن اقدامات قطعات است. منطقی است که فکر کنیم اقدامات D بعدی ما باید همین خاصیت را برآورده کند.
(2) اگر طرفین مستطیل را توسط R ضرب کنیم ، منطقه توسط R 2 (R * R) ضرب می شود. اگر طرفین یک جعبه را توسط R ضرب کنیم ، حجم آن توسط R 3 (R * r * r) ضرب می شود. این نشان دهنده این واقعیت است که منطقه 2 بعدی است و حجم 3 بعدی است. بنابراین اندازه گیری D بعدی "باید" این خاصیت را برآورده کند که وقتی یک شکل توسط یک عامل R مقیاس می شود ، اندازه گیری D بعدی آن توسط R D ضرب می شود.
هاوسدورف ثابت کرد که یک روش مداوم برای انجام موارد فوق وجود دارد. اکنون ما ابعاد را به همان روشی که Goldilocks فرنی را انتخاب می کند تعیین می کنیم. اگر سعی کنیم یک مستطیل پر شده را با یک اندازه گیری 3 بعدی (حجم) اندازه گیری کنیم ، می فهمیم که خیلی کوچک است (حجم 0) زیرا ضخامت ندارد. از طرف دیگر ، اگر مستطیل را به بخش های خط افقی (بی نهایت) تقسیم کنیم ، می فهمیم که طول خیلی بزرگ است (بی نهایت). اندازه گیری منطقه "درست درست" است و یک اندازه گیری مثبت محدود را ارائه می دهد.
برای اشیاء فراکتال که در این صفحه وب در نظر خواهیم گرفت ، دقیقاً یک شماره D≥0 وجود خواهد داشت که اندازه گیری D بعدی مثبت باشد ، اما نامتناهی نیست. برای ED ، اندازه گیری E-Dimensional خواهد بود 0. وظیفه ما یافتن ابعاد Hausdorff ، D که "درست" است.
مجموعه کانتور
سوم میانه را بردارید ، اما نقاط پایانی را درج کنید تا اکنون 2 فاصله بسته هر یک از طول یک سوم داشته باشید.
سومین میانی هر یک از این دو فواصل را بردارید تا 4 فواصل کوچکتر تشکیل شود.
این روند را به طور نامحدود ادامه دهید.
نقاطی که هرگز در هر مرحله از این فرآیند حذف نمی شوند ، مجموعه کانتور را تشکیل می دهند. بعد فراکتال آن چیست؟
مشاهده کلیدی در اینجا این است که مجموعه کانتور می تواند به دو قطعه شکسته شود ، سمت چپ و سمت راست ، که نسخه های خود را از روی کانتور قرار می دهند! ضریب مقیاس 1/3 است.
بگذارید M_D (یک شکل) اندازه گیری D بعدی آن شکل را نشان دهد.
توسط خاصیت (1) در بالا ، m_d (مجموعه کانتور) = m_d (قطعه سمت چپ)+m_d (قطعه راست).
توسط خاصیت (2) ، m_d (قطعه سمت چپ) = m_d (قطعه راست) = m_d (مجموعه کانتور) * (1/3) D
قرار دادن این معادلات ، M_D (مجموعه کانتور) = M_D (مجموعه کانتور) * 2 * (1/3) D
اگر D بعد Hausdorff باشد ، سپس M_D (مجموعه کانتور) درست است - یک شماره محدود Nonzero. بنابراین ما می توانیم هر دو طرف معادله را برای به دست آوردن تقسیم کنیم:
1 = 2*(1/3) D ، یا به عبارت دیگر 3 d = 2.
در جبر دبیرستان ، فرد می آموزد که معادلات مانند این از طریق لگاریتم ها حل می شوند: D = log (2)/log (3).
فعالیت 1
مثلث Sierpinksi
مرحله 1) با یک مثلث دو طرفه شروع کنید. آن را به 4 زیرزمین متناسب تقسیم کنید و وسط آن را مانند Zelda Triforce جدا کنید.
مرحله 2) برای هر مثلث باقیمانده ، یک نسخه کاهش یافته از مرحله 1 را انجام دهید.
مرحله 3) به طور نامحدود تکرار کنید.
امتیازات هرگز در این فرآیند مثلث سیرپینسکی حذف نشده است.
جایزه: اگر مثلث پاسکال را می شناسید ، ببینید آیا می توانید ارتباطی بین آن و سیرپینسکی پیدا کنید.
اسفنج منگر
با یک مکعب 3x3x3 شروع کنید و مکعب مرکزی 1x1x1 و همچنین مکعب مرکزی 1x1x1 هر صورت را بردارید. تکرار این فرآیند مانند فراکتال هایی که در بالا دیدیم منجر به اسفنج منگر می شود.
.jpg)
منحنی کخ
این یک تکه از دانه های برف آشناتر Koch است (که با مرتب کردن سه مورد از آنها برای تشکیل یک "مثلث" به دست می آید.) با فاصله واحد بسته [0, 1] شروع کنید. یک سوم میانی را مانند هنگام تشکیل مجموعه کانتور بردارید، اما این بار آن را با دو ضلع دیگر مثلث متساوی الاضلاع که میتوان در بالای این بخش میانی قرار داد، مانند شکل زیر جایگزین کنید. حالا با چهار قطعه به طول 1/3، همین روش را انجام دهید. با تکرار این فرآیند و گرفتن "حد" منحنی کوخ به دست می آید.
خودت اختراع کن
مدت زمان ضربه قلم چقدر است؟
Benoît B. Mandelbrot مقاله ای را در سال 1967 منتشر کرد که در آن مشاهده کرد که هر چه مقیاسی برای اندازه گیری یک منحنی فیزیکی استفاده شود، منحنی طولانی تر به نظر می رسد. در درجات بزرگنمایی بیشتر به مستقیم بودن نزدیک نمی شود. او حدس زد که طول ظاهری متناسب با مقیاس اندازه گیری افزایش یافته به توان (بعد هاسدورف - 1) باشد. این باعث میشود که طول ظاهری منحنیهای فیزیکی به سمت بینهایت گرایش پیدا کند، زیرا اندازهگیریهایمان را اصلاح میکنیم.
فعالیت 2
بعد هاسدورف یک منحنی دنیای واقعی را با اندازه گیری طول آن در چندین مقیاس مختلف تخمین بزنید. با استفاده از داده های خود، ابعادی را پیدا کنید که به بهترین وجه با حدس هاوسدورف مطابقت دارد. این می تواند چیزی کوچک، مانند ضربه قلم، یا چیزی کاملا بزرگ باشد.(اگر منحنی شما کوچک است، باید از میکروسکوپ استفاده کنید.) سعی کنید چیزی را پیدا کنید که بتوانید آن را تکه تکه کنید تا گروهی از افراد بتوانند در اندازه گیری طول برای مقیاس های کوچکتر (یعنی مقیاس های بزرگتر) همکاری کنند. دقت، درستی).
این نباید پایان سفر شما باشد. شما نیز می توانید سایر سطوح هستی را کشف کنید. درباره فراکتال ها و توپولوژی در ویکی پدیا بیشتر بخوانید.
